\subsection{appunti 22 maggio}
lo spettro di un corpo nero ha la forma di 
GRAFICO

il massimo corrispondeva ad una specifica temperatura
$T \approx 3 \ K$

Domanda della Roberta
MANCANO DELLE PARTI
$$k_Y = n_y \frac{\pi}{L}$$
$$\vec{K} = \frac{\pi}{L} (n_x,n_y,n_z)$$

GRAFICO cubo con i punti\\

per calcolare il numero di modi, ricordando che $|K| = \frac{2 \pi}{\lambda}$
$$
{\mathcal N}(\lambda)= \frac{1}{8} \frac{4}{3} \pi \frac{\left( \frac{2
\pi}{\lambda} \right)^3}{\left( \frac{\pi}{L}\right)^3}
= 8 \pi \frac{V \lambda^{-3}{3}
$$
dove ${\mathcal}(\lambda)$ \`e il numero di modi permessi con $|\vec{k}|
< K= \frac{2 \pi}{\lambda}$
dove $V=L^3$
allora si pu\`o scrivere il rapporto incrementale
$$
N(\lambda) d\lambda= {\mathcal N}(\lambda)- {\mathcal
N}(\lambda + d\lambda) = -\frac{d}{d\lambda}{\mathcal N}(\lambda)
d\lambda= \frac{8 \pi V}{\lambda^4}
$$
dove $N(\lambda) \appartiene$ al numero di modi con lunghezza d'onda
in $(\lambfa, \lambda + d\lambfa)$.

SPENTO IL PC

$$
\vec{E}= \vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\vec{r} - \omega t)}$$
$$ \vec{E}(L,y)= E(0,y) =\vec{E}_0 e^{i(L k_x + y k_y)}$$
$$
L k_x = 2 n_x \pi$$
a differenza di prima i $k$ permessi sono i$\vec{k}=\frac{2
\pi}{L}(n_x,n_y,n_z)$ adesso sono permessi tutti i k, non pi\`u
$\frac{1{8}$, cio\'e gli $n$ positivi. Per\`o bisogna considerare $2
\pi$
quindi la densit\`a dei modi non dipende dalla condizione al contorno.


ESERCIZI del compitino


\subsection{capitolo 5: Dielettrici}
Abbiamo visto che  la forza
$$
\vec{F} = \frac{q Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \hat{r}= q \vec{E}_Q$$
dove il campo elettrico di una carica $Q$ \`e
$$
\vec{E}_Q = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \hat{r}$$

possiamo dire che l'integrale
$$
\int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r}=V_A - V_B$$
non dipende dal percorso, cio\'e si ha
$$
\vec{E} = - \vec{\rot} \vec{V}(r) \doppiafrecciagrossa
\vec{\rot} \prodexterno \vec{E}=0$$
l'ultima egualianza non ha validit\`a generale ma solo in alcuni casi

Se vogliamo calcolarco il gradiente significa che
$$
\vec{\rot} \frac{r}{r}= (\frac{\partial}{\partial x}, su y, su z)$$
e ricordando che $\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{r} = -
\frac{1}{r^2}\frac{\partial r}{\partial x} $
quindi si ha
$$
\vec{\rot}= (\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r})= \frac{\vec{r}{r}}
$$

Doremmo sapere che il flusso
$$
\int_V \vec{\rot} \vec{E} d^3\!r = \oint_\Sigma \vec{E}\cint \hat{n} d\Sigma=
\frac{Q_{interna}}{\epsilon_0}= \frac{1}{\epsilon_0} \int_V
\rho(\vec{r}) d^3\! r
$$

si ricava che
$$
\vec{\rot}\cdot\vec{E}= \frac{\rho}{\epsilon_0} ----> -\rot^2 V = \frac{\rho}{\epsilon_0}
$$
per una carica puntiforme $\rho(\vec{r})= Q \delta^3(\vec{r})$
e si ricava che
$$
\rot^2 \frac{1}{r} = - 4 \pi \delta^3(\vec{r})
$$


mah!
$$
\rot^2 \frac{1}{r}= \left( \frac{\partial}{\partial x} \right)^2
\frac{1}{r} \ldots e y e z \ldots= 0
$$
per $r\noteq 0$

mi aspetto che il laplaciano
$$
\rot^2 \frac{1}{r}= C \delta^3(\vec{r})
$$

premdiamo un volumetto che non condiene l'origine $d^3 \! r$
$$\int_V \rot \frac{1}{r} d^3 \! r = 0 $$
deve essere zero per definizione e allora anche
$$C \int_V \rot \frac{1}{r} \delta^3(\vec{r}) = 0 $$
mentre se il volumetto contiene l'origine
$$C \int_V \rot \frac{1}{r} \delta^3(\vec{r}) = C $$
verifichiamo

$$\int_V \rot \frac{1}{r} d^3 \! r = \int_{Sfera} \ldots = 
\int_\Sigma d\Sigma \hat{n} \cdot \vec{V} \frac{1}{r}= \int d^2 d\Omega
\hat{r} \frac{(- \hat{r})}{r^2} = - \int d\Omega = - 4 \pi
$$
significa che se
$$
\int_V d^3\!r  \rot^2 \frac{1}{r} = \{ 0 se \vet{r} \in V, se no - 4 \pi
se \vet{r} \in V\}
$$

Nel caso di un dipolo, il momento di dipolo \`e definito come
$$
\vet{p}= \vet{r}q
$$
mentre il potenziale dovuto ad un dipolo elettrico
$$
V_{\vec{p}}(\vec{p})= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot
\vet{r}}{r^3}
$$
dato che il potenziale \`e una quantit\`a scalare ?????????

il potenziale elettrico \`e di
$$
\vec{E}= - \vec{\rot} V_{\vec{p}}(\vec{r})
$$

il potenziale si pu\`o riscrivere come
$$
V_{\vec{p}}(\vec{p})= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{P
\cos{\theta}}{r^2}
$$

un po' di formule
$$
C = \frac{q}{V}= \frac{\Sigma \epsilon_0}{h}\\
q= \Sigma \sigma\\
V = \frac{\sigma}{\epsilon_0} h\\
U_e = \frac{\epsilon_0}{2} \int_V d^3\!r E^2(\vec{r})
$$